Modálna a harmonická analýza: keď o komponente rozhodne frekvencia, nie pevnosť

V článku o vzpere a strate stability som písal o komponente, ktorý vyhovie na pevnosť a napriek tomu zlyhá — lebo o jeho únosnosti rozhoduje tuhosť, nie pevnosť. Kmitanie je druhá polovica toho istého príbehu. Komponent môže byť dosť pevný aj dosť tuhý, a predsa robiť problémy — ak ho niečo budí na jeho vlastnej frekvencii. Výchylka vtedy môže narásť do veľkých hodnôt, bez tlmenia teoreticky donekonečna. Nemusí to hneď znamenať poruchu — často sa to najprv prejaví chvením a hlukom.

Mal som na stole presne taký prípad: dlhá tenká duralová rúrka, súčasť ovládania riadenia stroja, uložená na oboch koncoch kĺbovo. Dva problémy naraz. Prvý bol vzper — holá rúrka nespĺňala požadovanú kritickú silu. Druhý bola rezonancia: prvá ohybová frekvencia rúrky ležala nebezpečne blízko budeniu pohonu pri voľnobehu a prejavovala sa nepríjemným zvýšením hlučnosti. Tento článok je však o tom druhom probléme — a o dvoch nástrojoch, ktorými sa diagnostikuje: modálnej a harmonickej analýze. Oba problémy nakoniec vyriešil jeden zásah — kompozitný oplet v strede rúrky; prečo práve on, ukážem na konci článku.

Tento článok je zároveň rozcestník pre ďalšie články série, ktoré rozoberajú jednotlivé kúsky podrobnejšie: čítanie Campbellovho diagramu, ako sa rezonancii vyhnúť a multikriteriálnu optimalizáciu.

Čo je vlastná frekvencia a vlastný tvar

Každá konštrukcia má frekvencie, na ktorých sa ľahko rozkmitá — stačí malé budenie a výchylka narastie. Toto sú tzv. vlastné frekvencie. Ku každej patrí vlastný tvar (mód): charakteristický tvar, do ktorého sa konštrukcia pri tej frekvencii vybudí. Struna má prvý tvar jednu polvlnu, druhý dve, tretí tri — a nosník či rúrka to majú rovnako; doska podobne, len v dvoch smeroch.

Rezonancia nastane, keď budenie trafí vlastnú frekvenciu. Vtedy sa energia hromadí z cyklu na cyklus a výchylku drží na uzde už len tlmenie. Preto je vlastná frekvencia veličina, ktorú treba poznať skôr, než sa komponent dostane do prevádzky s nejakým periodickým zdrojom — pohonom, prevodovkou, čerpadlom.

Dôležité je, čo frekvenciu určuje. Pre jednoduchý kmitajúci systém je

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},$$

kde $k$ je tuhosť a $m$ hmotnosť. [1][2] Z toho vzorca sa dá prečítať celá stratégia: chcem frekvenciu zvýšiť — pridám tuhosť alebo uberiem hmotu; chcem ju znížiť — naopak. Pevnosť materiálu v ňom nevystupuje, rovnako ako nevystupovala v Eulerovom vzorci pre vzper.

Modálna analýza: mapa rezonancií

Modálna analýza je výpočet vlastných frekvencií a tvarov. V MKP je to problém vlastných hodnôt — ten istý matematický tvar, aký má vzper, len s inou druhou maticou. Pri netlmenom kmitaní sa hľadá netriviálne riešenie sústavy rovníc

$$(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M})\,\boldsymbol{\varphi} = \mathbf{0},$$

kde $\mathbf{K}$ je tuhostná a $\mathbf{M}$ hmotnostná matica. Podmienka netriviálneho riešenia $\det(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M}) = 0$ dá vlastné uhlové frekvencie $\omega_i$ (z nich $f_i = \omega_i / 2\pi$) a im prislúchajúce tvary $\boldsymbol{\varphi}_i$. [3][4]

Riešič vráti vlastné tvary zoradené podľa rastúcej frekvencie. Vlastný tvar nemá absolútnu veľkosť — je to pomer výchyliek medzi bodmi, nie milimetre. Hovorí kam sa konštrukcia pohne, nie o koľko; to druhé je už úloha pre harmonickú analýzu.

Prvý vlastný tvar ako kontúrová FE mapa (schematicky). Farba je normalizovaná výchylka — nula v uzloch, jednotka v kmitni. Zámerne bez milimetrov: solver dáva len pomery výchyliek medzi bodmi a mierku tvaru si volí sám. Absolútne čísla prináša až harmonická analýza.

Prečo sa frekvencie počítajú na predpätej konštrukcii

Napätosť konštrukcie mení tuhosť. Je to tá istá geometrická tuhosť $\mathbf{K}_G$, ktorá riadi vzper: tlak tuhosť uberá, ťah pridáva. Zdrojom napätosti nemusí byť osová sila — rovnako pôsobí vnútorný pretlak v tenkostennej nádobe, odstredivá sila v rotujúcej lopatke či predpätie od skrutiek. Keď sa predpätie zahrnie do modálnej úlohy, matica tuhosti sa oň opraví:

$$\big(\mathbf{K}_E + \mathbf{K}_G(\sigma) - \omega^2 \mathbf{M}\big)\,\boldsymbol{\varphi} = \mathbf{0}.$$

Dôsledok je názorný. Pri nosníku tlaková sila vlastnú frekvenciu znižuje — a keď sa blíži kritickej sile vzperu, prvá vlastná frekvencia ide k nule. Strata stability sa teda dá chápať aj ako „rezonancia pri nulovej frekvencii“ (v dynamike sa tomu hovorí divergencia): konštrukcia stratí tuhosť v prvom tvare úplne. Ťah frekvenciu naopak zvyšuje, lebo sa komponent spevňuje. [4][5]

Pre kĺbovo uložený prút má tento vzťah uzavretý tvar $f_1(P) = f_1(0)\,\sqrt{1 - P/P_{\mathrm{kr}}}$, kde $P$ je tlaková osová sila a $P_{\mathrm{kr}}$ kritická sila vzperu. Pri $P \to P_{\mathrm{kr}}$ ide prvá vlastná frekvencia presne k nule — teoreticky teda veľká tlaková sila znamená zlyhanie (vzper) pri nulovej frekvencii. [6]

Tá istá závislosť sa dá využiť aj naopak: meraním frekvencie pri rastúcom zaťažení (bezpečne do ~50 % kritickej sily) a extrapoláciou priamky $f^2$ – sila na nulovú frekvenciu sa kritická sila vzperu určí nedeštruktívne. To je podstata vibračnej korelačnej techniky (VCT). [7]

V ťahu je priebeh iný. Frekvencia v ťahu rastie — elasticky po medzu klzu, potom už len mierne — až po medzu pevnosti, a klesanie k nule tu nenastáva postupne: pri pretrhnutí padne frekvencia na nulu skokom. Oba krajné stavy osovej sily teda končia pri nulovej frekvencii, ale rozdielne: v tlaku f klesá spojito (vzper je postupná strata tuhosti), v ťahu je to nespojitý dej (pretrhnutie).

Preto má v predpätej modálnej analýze každý mód tri hodnoty: v tlaku (frekvencia nižšia), bez zaťaženia (neutrál) a v ťahu (vyššia). Pri tejto rúrke som hodnotil neutrál pre odľahčený voľnobeh a rozsah tlak–ťah pre prevádzku, kde sa osová sila mení v oboch smeroch. Pri holej rúrke je prevádzkový tlak 1100 N dokonca nad kritickou silou (~1067 N), takže tlakový stav má zmysel počítať až s opletom.

Osová sila mení tuhosť, a tým aj vlastnú frekvenciu. V tlaku klesá spojito k nule pri vzpere; v ťahu rastie až po medzu pevnosti a pri pretrhnutí padá na nulu skokom. Oba extrémy končia pri nulovej frekvencii, no tlakový dej je spojitý (vzper), ťahový nespojitý (pretrhnutie).

Tvar kmitania holej rúrky

Holá rúrka s uložením kĺb–kĺb má prvé tri ohybové tvary tam, kde ich čakáme — jednu, dve a tri polvlny sínusu po dĺžke:

Pomer frekvencií 18,04 : 71,96 : 161,05 ≈ 1 : 4 : 9 sedí s teóriou kĺbovo uloženého nosníka ($f_r \propto r^2$, kde $r$ je počet polvĺn) na 1 % — to je zároveň kontrola modelu.

Čísla 1, 3, 5 nie sú preklep. Rúrka má kruhový prierez, takže každý ohybový tvar existuje v dvoch na seba kolmých rovinách s rovnakou frekvenciou — módy chodia v dvojiciach (f1 a f2, f3 a f4, …). Pri rovinnej úlohe stačí z každej dvojice nižší, preto nepárne čísla. Symetria tvaru nie je kozmetika: o pár riadkov nižšie uvidíme, čo rozhoduje o tom, ktorý mód sa vôbec dá vybudiť.

Prvé tri ohybové tvary kĺbovo uloženej rúrky. Symetrické tvary (1 a 3 polvlny) majú v strede kmitňu, antisymetrický (2 polvlny) tam má uzol. Táto symetria rozhoduje, ktorý mód sa dá vybudiť akým budením.

Harmonická analýza: od frekvencií k výchylkam

Modálka povie, kde rezonancie sú. Nepovie, koľko sa komponent v nich rozkmitá — lebo vlastný tvar nemá veľkosť. Na to je harmonická analýza: počíta ustálenú odozvu konštrukcie na harmonické (sínusové) budenie v celom rozsahu frekvencií. Výsledkom je frekvenčná odozvová funkcia (FRF) — graf výchylky proti frekvencii budenia, s vrcholom pri každej vybudenej vlastnej frekvencii.

Pre túto rúrku bolo budením chvenie uloženia, nie sila na samotnom komponente — pohon trasie celou sústavou. To je tzv. budenie podpier (base excitation). Počítal som ho metódou modálnej superpozície (MSUP), ktorá odozvu poskladá z vlastných tvarov; je lacná a presná, pokým sa do výpočtu zahrnie dosť módov nad sledovaným pásmom (tu aspoň do ~300 Hz pri pásme do 200 Hz). [5]

Budenie som zadal ako jednotkové tiažové zrýchlenie (1 g). Výsledok je potom „výchylka na g“ a skutočnou úrovňou zrýchlenia sa prenásobí až neskôr. Tlmenie som zvolil konštantné, $\zeta = 0{,}5\,\%$, ako odhad pre holý dural s uložením (bez merania).

Výchylku som bral ako maximum po celej tenkej časti, nie v jednom bode — stred rúrky je uzlom f3, sonda v strede by ju vôbec neukázala.

Čo z toho vyšlo

f1 a f5 sú z výpočtu s budením vo fáze, f3 z výpočtu v protifáze (každá podpera 1 g).

Prvá rezonancia kmitá s rádovo väčšou výchylkou než ostatné — f3 asi tridsaťkrát a f5 vyše dvestokrát miernejšie (viď tabuľka). Pri f5, ktorú budí to isté budenie vo fáze ako f1, sa sčítajú dva efekty: vyšší mód je tuhší a slabšie sa viaže na rovnomerné chvenie podpier. [8] Hodnota f3 pochádza z výpočtu v protifáze, takže jej pomer k f1 platí len pri rovnako silnej zložke budenia vo fáze aj v protifáze. Práve preto sa FRF kreslí s logaritmickou zvislou osou — na lineárnej by bolo vidno len prvý vrchol a zvyšok by splynul s nulou.

Graf má dve krivky, nie jednu: každá patrí inej fáze budenia podpier. Modrá (vo fáze) budí symetrické tvary f1 a f5, oranžová (v protifáze) antisymetrický f3. Prečo je to tak, rozoberá nasledujúca sekcia — tu stačí, že žiadna jediná krivka neukáže všetky rezonancie naraz.

Dve harmonické odozvy, každá pre inú fázu budenia podpier: modrá (vo fáze) budí symetrické f1 a f5, oranžová (v protifáze) antisymetrický f3. Poloha vrcholu povie, či ho budenie zasiahne; výška, ako veľmi.

Prečo fáza budenia rozhoduje, ktoré tvary ožijú

Rúrka má striedavo symetrické a antisymetrické tvary — a nie každý z nich sa dá vybudiť akýmkoľvek budením. Rozhoduje fáza, s akou sa hýbu jej dve podpery.

• Vo fáze (obe podpery rovnako, 0°/0°) je pohyb čistá translácia celej sústavy. Rovnomerne „posunie“ celú rúrku, takže vybudí len symetrické tvary — f1 a f5. Antisymetrický f3 má voči takému budeniu nulový modálny participačný faktor: jedna polovica rúrky by potrebovala ísť hore a druhá dole, ale rovnomerné budenie ich tlačí rovnako, takže sa príspevky vyrušia. f3 neožije, aj keby jeho frekvencia ležala presne v budiacom pásme.
• V protifáze (podpery opačne, 0°/180°) je pohyb kolísanie. To vybudí antisymetrický f3, zatiaľ čo symetrické f1 a f5 sa teraz vyrušia.

Platí to presne pre symetrickú konštrukciu s rovnakými uloženiami; akákoľvek asymetria väzbu čiastočne obnoví.

Fáza budenia podpier rozhoduje o symetrii odozvy. Translácia (vľavo) budí symetrické tvary, kolísanie (vpravo) antisymetrické. Preto treba dva výpočty — jeden výpočet s jednou tuhou bázou antisymetrický tvar nikdy neukáže.

Praktický dôsledok: na úplný obraz treba dva výpočty. Štandardné budenie podpier v riešiči vie spravidla len jednu tuhú bázu (0°/0°), takže antisymetriu treba zadať ako samostatný pohyb každej podpery s fázovým posunom. Kto spraví len jeden výpočet, antisymetrickú odozvu jednoducho neuvidí a bude si myslieť, že ten mód nič nebudí.

Relatívne porovnanie bez absolútnych vstupov

Zostáva otázka, ktorá trápi každú takúto úlohu: aká je skutočná úroveň budenia a tlmenia? Bez merania — akcelerometra na uložení a poklepového testu [9] — ich nepoznám. A práve preto malo zmysel počítať jednotkové budenie.

Pri jednotkovom vstupe sú totiž pomery medzi rezonanciami nezávislé od toho, aká je skutočná úroveň budenia, a pri rovnakom tlmení všetkých módov aj od tlmenia. Výška rezonančného vrcholu je úmerná $1/(2\zeta)$, takže pri konštantnom ζ sa v pomere dvoch vrcholov vykráti.

Ten vzťah má dva predpoklady: tlmenie je slabé ($\zeta \ll 1$) a vrcholy sú od seba dosť ďaleko, aby o výške každého z nich rozhodoval len jeden mód. Tu sú oba splnené s veľkou rezervou. Pri $\zeta = 0{,}5\,\%$ je šírka vrcholu (pásmo polovičného výkonu, $2\zeta f$) len 0,18 Hz pri f1 a 1,6 Hz pri f5, kým susedné vlastné frekvencie sú desiatky hertzov ďaleko — vrcholy sa teda neprekrývajú a každý patrí jednému módu. [9] Keby ležali frekvencie blízko seba alebo by bolo tlmenie veľké, vrcholy by sa zlievali a pomer by sa takto vykrátiť nedal.

Výsledok sa preto dá vysloviť ako pomer — prevádzková rezonancia kmitá s rádovo menšou výchylkou než voľnobežná — a ten platí bez ohľadu na to, akým číslom sa budenie nakoniec ukáže.

Ako referencia poslúži známy prevádzkový stav, napríklad voľnobeh. Odozva sa vztiahne k nemu namiesto absolútneho údaja „X milimetrov“, ktorý bez merania nemá oporu. Relatívne tvrdenie — o koľko je ktorá rezonancia miernejšia než voľnobežná — je overiteľné aj bez absolútnych vstupov.

Obmedzenia platnosti:

1. Platí pre výchylku, nie napätie. Vyššie módy majú väčšiu krivosť, takže v únave budú relatívne horšie, než naznačuje pomer výchyliek.
2. Skutočné g sa líši medzi voľnobehom a prevádzkou. Pomer platí pri rovnakom vstupe; absolútne čísla sa doplnia až po meraní.
3. Násobky 1 g / 2 g / 3 g sú v lineárnej analýze zbytočné — výchylka je priamo úmerná budeniu, takže stačí jeden výpočet a škálovanie. Zmysel by mali len pri nelinearite, napríklad pri vôli v čapoch.
4. Porovnanie f3 s f1 predpokladá rovnako silnú zložku budenia vo fáze aj v protifáze. Ich skutočný pomer ukáže až meranie na oboch podperách.

Späť ku komponentu: jeden oplet, dva problémy

Riešením oboch problémov naraz bol kompozitný oplet v strede rúrky — vrstvy uhlíka orientované pod uhlom, so sklenenou separačnou vrstvou proti galvanickej korózii medzi uhlíkom a hliníkom. Oplet urobí dve veci súčasne:

• pridá tuhosť → zvýši kritickú silu vzperu a odstráni prvý problém;
• pridá hmotu → zníži prvú vlastnú frekvenciu a posunie ju preč od budenia pohonu na voľnobehu.

Prečo f1 klesne, a nie stúpne? Pri uhle ±45° má uhlík v osi rúrky modul len okolo 9,3 GPa, takže oplet pridá relatívne málo ohybovej tuhosti, ale citeľnú hmotu.

Tieto zmeny idú pri modálnej analýze proti sebe — a je to celé jadro úlohy. Pri vzpere chcem tuhosť vysokú, pri prelaďovaní voľnobehu chcem frekvenciu nižšiu, čo cez pridanú hmotu ide proti vyššej tuhosti. Kam až oplet natiahnuť a koľko vrstiev dať, nie je jedno číslo, ale oblasť kompromisu. O tej je samostatný článok o multikriteriálnej optimalizácii.

Predtým však treba vedieť presne prečítať, kde rezonancie vznikajú — na to slúži Campbellov diagram — a ktoré z nich sú naozaj nebezpečné, lebo ako naznačili malé odozvy f3 a f5, nie každá zhoda frekvencie s budením znamená problém. Tomu sa venuje článok Ako sa vyhnúť rezonancii.

Zdroje

1. Rao, S. S. Mechanical Vibrations, Pearson.
2. Den Hartog, J. P. Mechanical Vibrations, Dover Publications, 1985 (dotlač 4. vydania, McGraw-Hill, 1956).
3. Thomson, W. T., Dahleh, M. D. Theory of Vibration with Applications, 5. vydanie, Prentice Hall, 1998.
4. Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E., Witt, R. J. Concepts and Applications of Finite Element Analysis, 4. vydanie, Wiley, 2002 (predpätá modálna analýza, geometrická tuhosť).
5. Bathe, K.-J. Finite Element Procedures, Prentice Hall, 1996.
6. Bokaian, A. Natural frequencies of beams under compressive axial loads, Journal of Sound and Vibration 126(1), 49–65 (1988), DOI 10.1016/0022-460X(88)90397-5. Pozri aj Blevins, R. D. Formulas for Natural Frequency and Mode Shape, Van Nostrand Reinhold, 1979.
7. Arbelo, M. A. a kol. Vibration Correlation Technique for the Estimation of Real Boundary Conditions and Buckling Load of Unstiffened Plates and Cylindrical Shells, Thin-Walled Structures 79, 119–128 (2014), DOI 10.1016/j.tws.2014.02.006; pre prúty klasicky Souza, M. A. a kol. (1983). Nadväzuje na Southwella.
8. Chopra, A. K. Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall (modálny participačný faktor pri budení podpier).
9. Ewins, D. J. Modal Testing: Theory, Practice and Application, 2. vydanie, Research Studies Press, 2000.