Základy FEA: prečo najvyššie napätie v modeli nemusí nič znamenať

Býva to takto. Príde mi model a otázka, či to takto môže ísť do výroby. Vo výsledkoch svieti červený bod, napätie nad medzou pevnosti, a pritom ten istý diel v podobnom prevedení niekde beží tretí rok bez problémov.

Odpoveď takmer nikdy nie je v tom čísle. Je v tom, ako vzniklo. Nasledujúci text je o tom, čo sa deje pod tlačidlom „Solve" a podľa čoho sa dá poznať, ktoré čísla z výpočtu majú význam a ktoré nie.

Nepotrebujete na to hlboké znalosti numerickej matematiky. Stačia tri veci, ktoré si o výpočte treba pamätať.

Riešič nehľadá napätia, ale posuny

Toto je prvá z nich a vysvetľuje prekvapivo veľa.

Súčiastka má v realite spojitý tvar, takže má nekonečne veľa bodov a počítač ju priamo vyriešiť nevie. Metóda konečných prvkov (FEM) ju rozdelí na prvky (elementy) a hľadá hodnoty len v uzloch siete. Všade medzi uzlami sa hodnoty dopĺňajú interpoláciou.

To, čo riešič naozaj rieši, je sústava

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{f},$$

kde $\mathbf{K}$ je matica tuhosti, $\mathbf{f}$ zaťaženie a $\mathbf{u}$ hľadané posuny uzlov. Napätia tu nie sú. Tie sa dopočítavajú až potom, a to z toho, ako rýchlo sa posun medzi susednými uzlami mení — teda z gradientu.

Prakticky z toho plynie jedna vec: posuny sú vždy spoľahlivejšie než napätia. Derivovanie presnosť zhoršuje. Model môže dávať priehyb s chybou pod percento a napätia s chybou desiatok percent naraz. Keď teda niekto obhajuje výpočet tým, že priehyb sedí s meraním, nedokázal tým o napätiach nič.

Prvky, ktoré nedokážu ohyb

Druhá vec: na výsledku sa podpíše typ prvku viac než hustota siete.

Lineárny štvorsten (TET4) má vnútri konštantné napätie. Jedno číslo na celý prvok. Pri ohybe pritom napätie naprieč hrúbkou lineárne prechádza z ťahu do tlaku, čo takýto prvok nevie zobraziť ani v princípe. Konštrukcia vyjde tuhšia a napätia nižšie, než v skutočnosti sú.

Automatické sieťovanie ponúka TET4 ako predvoľbu, lebo je rýchly. Ak však ide o napätia, ktoré budete niekomu ukazovať, prepnite na kvadratické prvky — TET10 alebo HEX20. Rozdiel býva výrazný.

Podobne to platí pri jednom prvku cez hrúbku steny. Aj s dobrým typom prvku je to málo. Tri a viac je rozumný začiatok.

Ak sa vám vo výsledkoch objaví zvlnený obrys siete, ktorý nezodpovedá ničomu fyzikálnemu, riešič bojuje s takzvaným efektom presýpacích hodín (hourglassing). Je to varovanie, nie kozmetická chyba, a spravidla znamená priveľmi hrubú sieť pre daný typ prvku.

Odkiaľ sa berie tá červená škvrna

A tretia vec, ktorá odpovedá na otázku z úvodu.

V ostrom vnútornom rohu vychádza z teórie pružnosti nekonečné napätie. To isté platí pre väzbu v jedinom bode a pre silu zavedenú do jediného uzla. Nie je to chyba siete ani softvéru. Je to dôsledok toho, že model má dokonale ostrú hranu, akú skutočná súčiastka nemá — tá má vždy nejaký rádius, aj keby len z nástroja.

Volá sa to singularita a napätie sa v jej okolí správa ako

$$\sigma(r) \sim r^{\lambda - 1},$$

kde $r$ je vzdialenosť od vrcholu rohu. Podstatný je exponent. Kým je záporný, napätie pri približovaní sa k rohu rastie nad všetky medze. Ako veľmi, závisí od uhla:

Najmenšia vzdialenosť, ktorú sieť rozlíši, je veľkosť prvku. Preto špičkové napätie v singularite so zjemňovaním siete nekonverguje, ale rastie — a to podľa mocninového zákona, teda donekonečna.

Z toho plynie, prečo je maximum napätia z celého modelu takmer vždy nepoužiteľný údaj, hoci je to prvá vec, ktorú softvér ukáže. Nie je to napätie v súčiastke. Je to napätie v mieste, kde model klame.

Čo s tým, keď je to miesto pre posúdenie dôležité:

• domodelovať skutočný rádius, ktorý tam v diele naozaj je,
• odčítať napätie kúsok ďalej, mimo dosahu singularity,
• alebo použiť postup, ktorý s koncentráciou počíta — pri zvaroch napríklad štrukturálne napätie extrapolované z predpísaných vzdialeností podľa normy, pri trhline lomovú mechaniku.

Čo sa robiť nemá: zjemňovať sieť dovtedy, kým číslo nevyjde pekne. V singularite ho tým len zväčšujete.

Ako si overiť, že je sieť dosť jemná

„Zjemnil som sieť a nič sa nezmenilo" nie je doklad, lebo nikto nevie, o koľko sa nezmenilo. Overuje sa to jednoducho a stojí to pár hodín práce.

Spočítajte tú istú úlohu na troch sieťach, kde sa veľkosť prvku zakaždým zmenšia na polovicu, a sledujte jednu jedinú hodnotu — napríklad napätie v mieste, ktoré posudzujete. Z tých troch čísel sa dá vytiahnuť viac, než sa zdá:

from math import log

def konvergencia(f1, f2, f3, r=2.0):
    """f1 = najjemnejšia sieť, f3 = najhrubšia. r = koľkokrát sa prvok zmenšuje."""
    # Rád konvergencie: ako rýchlo sa výsledok blíži k ustálenej hodnote.
    p = log(abs((f3 - f2) / (f2 - f1))) / log(r)
    # Odhad hodnoty pri nekonečne jemnej sieti (Richardsonova extrapolácia).
    ustalene = f1 + (f1 - f2) / (r**p - 1)
    # Odhad chyby najjemnejšieho výsledku v percentách (GCI podľa Roacheho).
    chyba = 1.25 / (r**p - 1) * abs((f2 - f1) / f1) * 100
    return p, ustalene, chyba

# Napätie [MPa] pri veľkosti prvku 1 / 2 / 4 mm.
p, ustalene, chyba = konvergencia(211.3, 209.1, 201.7)
print(f"rád konvergencie  = {p:.2f}")
print(f"ustálená hodnota  = {ustalene:.1f} MPa")
print(f"odhad chyby       = {chyba:.2f} %")

# rád konvergencie  = 1.75
# ustálená hodnota  = 212.2 MPa
# odhad chyby       = 0.55 %

Čo z toho čítať:

• Rád konvergencie má vyjsť kladný, spravidla medzi 1 a 2. Keď vyjde záporný alebo sa hodnoty nemonotónne hádžu, konvergenciu nemáte a zvyšok nemá zmysel počítať. Najčastejšia príčina je práve singularita.
• Odhad chyby je to, čo patrí do správy namiesto vety o zjemnení. Pol percenta je poriadny výsledok, desať percent znamená, že treba ísť ďalej.

Nie je to môj výmysel, je to štandardný postup — stojí za ním metodika ASME V&V 20 a v literatúre sa označuje ako GCI -Grid Convergence Index (index konvergencie sietí).

Na poradí čísel záleží: f1 je z najjemnejšej siete. Pri opačnom poradí vyjde rád záporný, čo je zároveň najrýchlejší spôsob, ako si všimnúť, že ste sa pomýlili.

Votknutie, ktoré v skutočnosti neexistuje

Väčšina naozaj zlých výsledkov nevzniká v riešiči, ale pri zadávaní okrajových podmienok. A z farebného obrázka to nevidno vôbec.

Dokonalé votknutie neexistuje. Skrutkový spoj má poddajnosť. Zvar má tuhosť okolitého plechu. Uloženie v ráme sa pri zaťažení pootočí. Keď to vo výpočte zjednodušíte na „táto plocha sa nehýbe", model vyjde tuhší než skutočnosť a napätia sa presunú inam, než kde naozaj vznikajú.

Platí tu ale aj jedna malá úľava. Saint-Venantov princíp hovorí, že detail toho, ako presne zaťaženie vnesiete, prestáva byť podstatný vo vzdialenosti porovnateľnej s rozmerom plochy, cez ktorú ho vnášate. Ak je vaše miesto záujmu ďalej, zjednodušenie vám nevadí. Ak je práve v úchyte, rozhoduje o celom výsledku — a sila v jednom uzle je opäť len singularita.

Keď kontrolujem cudzí výpočet, prvá otázka znie: ktorá časť zostavy tu chýba a čím ste ju nahradili. Odpoveď povie o kvalite modelu viac než ktorýkoľvek obrázok.

Kedy lineárny výpočet prestáva platiť

Lineárna statika, teda to, čo beží po stlačení tlačidla, stojí na troch predpokladoch naraz. Stačí, aby padol jeden a výsledok neplatí.

Materiál zostáva v elastickej oblasti. Keď redukované napätie lokálne prekročí medzu klzu, lineárny výpočet ho nadhodnotí, pretože nevie o plastickom prerozdelení. Hodnota 400 MPa v materiáli s medzou klzu 250 MPa nehovorí o bezpečnosti nič — treba elasticko-plastický výpočet alebo posúdenie na medzné zaťaženie.

Posuny sú malé oproti rozmerom. Pri veľkých posunoch sa mení geometria, na ktorej sa počíta. Štíhle a tenkostenné diely to porušujú skôr, než by človek čakal.

Kontakty sa počas zaťažovania nemenia. Nič sa neodlepí ani nedosadne. Len čo sa však kontaktná plocha mení, úloha je nelineárna bez ohľadu na materiál.

Nelineárny výpočet stojí podstatne viac času, preto sa nerobí len tak. Ale rozhodnúť sa, či ho použit, je potrebné vopred, z povahy úlohy, nie až podľa toho, čo vyšlo.

Zvlášť opatrný treba byť pri strate stability. Lineárny výpočet vzperu dáva hornú hranicu a pri tenkostenných škrupinách býva skutočné kritické zaťaženie výrazne nižšie, lebo rozhodujú výrobné nepresnosti.

Čo má obsahovať správa/report z MKP analýzy

Ak výpočet objednávate, výstupom nemá byť obrázok. Aby sa dal obhájiť pred zákazníkom a zopakovať o rok, keď sa diel zmení, má správa uvádzať:

• revíziu CAD, na ktorej výpočet stojí, aj s dátumom,
• typ a rád prvku a počet prvkov cez hrúbku v kritických miestach,
• okrajové podmienky popísané slovami, nie len screenshotom,
• zdroj materiálových dát,
• doklad o konvergencii s odhadom chyby,
• kritérium posúdenia a odkiaľ pochádza,
• zoznam zjednodušení vrátane toho, čo bolo z modelu vypustené a prečo.

Niečo extra navyše: Keď treba prejsť stovky variantov

Na to je plný MKP výpočet zbytočne drahý. Pre návrhovú fázu sa dá natrénovať zjednodušený model na malom počte riešení, ktorý potom odpovedá v milisekundách a vracia aj mieru neistoty. Demo, kde si to viete naklikať a porovnať s exaktným MKP riešením, je na stránke pre strojárstvo.

Finálny výpočet sa aj tak robí pomocou MKP. Toto slúži na hľadanie, nie na doklad.

---

Ak riešite konkrétnu úlohu a neviete posúdiť, či výsledok sedí, napíšte mi. Väčšinou sa to dá rozhodnúť z pár otázok o type prvku, o úchytoch a o tom, čo hovorí konvergencia.